设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵
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证明：
因为A实对称,所以存在正交矩阵U,使得U'AU=diag对角阵,对角线上是A的n个特征值.
由题U'(AB+B'A)U与AB+B'A合同,也正定,其顺序主子式必定大于0.
U'(AB+B'A)U=U'AUU'BU+U'B'UU'AU=diagU‘BU+U’B'Udiag
记P=U‘BU 那么U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.
如果A的特征值中有0,不妨设diag对角阵上第一个元素a11为0（也就是A的特征之中有0）
根据U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.和矩阵的乘法运算,这个矩阵的第一行第一列元素也为0.
这就与顺序主子式都大于零矛盾了.所以A的n个特征值都不为0,A可逆.
因为A实对称,所以存在正交矩阵U,使得U'AU=diag对角阵,对角线上是A的n个特征值.
由题U'(AB+B'A)U与AB+B'A合同,也正定,其顺序主子式必定大于0.
U'(AB+B'A)U=U'AUU'BU+U'B'UU'AU=diagU‘BU+U’B'Udiag
记P=U‘BU 那么U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.
如果A的特征值中有0,不妨设diag对角阵上第一个元素a11为0（也就是A的特征之中有0）
根据U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.和矩阵的乘法运算,这个矩阵的第一行第一列元素也为0.
这就与顺序主子式都大于零矛盾了.所以A的n个特征值都不为0,A可逆.
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