Question

急求微分方程（1+x ^2）dy=（1+xy）dx 的通解

Answer 1

求解微分方程(1+x)dy=(1+xy)dx 的通解，可以按下列步骤进行计算：

1、将原微分方程化简成下列形式

dy/dx-x/(1+x²)y=1/(1+x²)

2、上述方程，属于线性微分方程的类型，即

dy/dx-P(x)y=Q(x)

3、根据现有的线性微分方程的求解公式，即可得到如下通解

Answer 2

解:微分方程为(1+x²)dy=(1+xy)dx，化为
(1+x²)dy/dx-xy=1，1/√(1+x²)×dy/dx-xy/[(1+x²)√(1+x²)]=1/[(1+x²)√(1+x²)]，d[y/√(1+x²)]/dx=1/[(1+x²)√(1+x²)]，y/√(1+x²)=x/√(1+x²)+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=x+c√(1+x²)

Answer 3

(1+x^2) dy=（1+xy）dx 

dy/dx = (1+xy)/(1+x^2)

            = [x/(1+x^2)]y + 1/(1+x^2)

dy/dx -[x/(1+x^2)]y =1/(1+x^2)

p(x) = -[x/(1+x^2)]

∫p(x) dx =∫-x/(1+x^2) dx = -(1/2)ln(1+x^2) + C

e^[∫p(x) dx] = 1/√(1+x^2)

两边乘以 1/√(1+x^2)

[1/√(1+x^2)] [dy/dx -[x/(1+x^2)]y] =1/(1+x^2)^(3/2)

d/dx [y/√(1+x^2)] =1/(1+x^2)^(3/2)

y/√(1+x^2)

=∫dx/(1+x^2)^(3/2)

=x/√(1+x^2) +C

y= x + C.√(1+x^2)

(1+x^2) dy=（1+xy）dx 的通解

y= x + C.√(1+x^2)

let

x=tanu

dx=(secu)^2 du

∫dx/(1+x^2)^(3/2)

=∫(secu)^2 du/(secu)^3

=∫ cosu du

=sinu + C

=x/√(1+x^2) +C

                 

Answer 4

解:微分方程为(1+x²)dy=(1+xy)dx，化为

(1+x²)dy/dx-xy=1，1/√(1+x²)dy/dx-xy/[(1+x²)√(1+x²)]=1/[(1+x²)√(1+x²)]，d[y/√(1+x²)]/dx=1/[(1+x²)√(1+x²)]，y/√(1+x²)=x/√(1+x²)+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=x+c√(1+x²)

请参考