Question

二次型矩阵一定是实对称矩阵吗?

Answer 1

是的。

P^-1AP = diag

则 A = PdiagP^-1

由于P正交，所以P^-1=P^T

所以 A = PdiagP^T

所以 A^T = (PdiagP^T)^T = PdiagP^T = A

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

实对称矩阵A的特征

n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。