Question

大学高数题目？

Answer 1

1.f(x)=∫(x-t)e^(-t^2)dt=∫xe^(-t^2)dt-∫te^(-t^2)dt
=x∫e^(-t^2)dt-∫te^(-t^2)dt(对t积分，x相对于常量，可提到积分号外)
f'(x)=∫e^(-t^2)dt+xe^(-x^2)-xe^(-x^2)=∫e^(-t^2)dt
df(x)=f'(x)dx=[∫e^(-t^2)dt]dx
2.dy/；dx=y'/；x'=3t^2/；(2t)=(3/；2)t，t=2时，切线斜率k=(3/；2)t=3，
切点（5，8），切线方程y-8=3（x-5），即3x-y-7=0

Answer 2

10.设x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu,z=r,
原式=∫<0,2π>du∫<1,3>e^rdr
=2π（e^3-e）。

Answer 3

补充平面 ∑1 ： z = 1（x^2+y^2≤1）, 取下侧 ；
补充平面 ∑2 ： z = 3（x^2+y^2≤9）, 取上侧，成封闭图形。
则被积函数的奇点在封闭图形之外。
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1+∑2> + ∫∫<-∑1> - ∫∫<∑2>
前者用 高斯公式， 中者 z = 1， 后者 z = 3.
I = ∫∫<∑> = ∫∫∫<Ω>e^zdv/√(x^2+y^2)
+ ∫∫<∑1>edxdy/√(x^2+y^2) - ∫∫<∑2>e^3dxdy/√(x^2+y^2)
= ∫<1, 3>e^zdz∫<0, 2π>dt∫<0, z>rdr/r
+ ∫<0, 2π>dθ∫<0, 1>rdr/r - ∫<0, 2π>dφ∫<0, 3>rdr/r
= 2π∫<1, 3>ze^zdz + 2π - 6π = 2π∫<1, 3>zde^z + 2π - 6π
= 2π[(z-1)e^z]<1, 3> - 4π = 2π(2e^3) - 4π = 4π(e^3-1)