Question

求一道极限题 求n趋向无穷大时[(1+1/n^2)(1+2/n^2)…(1+n/n^2)]的极限

Answer 1

二楼的结果是对的,但是做法是错的
这一步：
“由当x趋于0时ln(1+x)=x ” 他用的是等价无穷小的代换思想,
而等价无穷小不能用于加减形式 .他就错在这.
三楼的 “就是dontknow”的 想法完全正确,先赞一个.确实要用夹逼准则.
我就帮楼主总结一下吧：
先用二楼正确的前2部：
令y=[(1+1/n^2)(1+2/n^2)…(1+n/n^2)]
lny=ln(1+1/n^2)+ln(1+2/n^2)+……+ln(1+n/n^2) = M
开始3楼的夹逼准则：
ln(1 + i/n^2) ln(1+ i/n^2)> (i/n^2)/(1+ i/n^2) = i/(n^2 +i) > i/(n^2 +n)
也就是：
i/(n^2 +n)所以：
（1+2+...+n)/(n^2 +n)即：1/2 n趋近正无穷,夹逼得 lim M = 1/2
所以 结果就是 ：
e^(1/2)
觉得这题不错,我做了张图片,楼主可以看看