Question

怎样判定一个数列是等差数列还是常数列？

Answer 1

是等差数列a n-a n-1=d(d为常数，n是正整数).1是等比数列a n/a n-1=q(q为常数，n是正整数).2既是等差数列，又是等比数列，1、2二式联立，得d=0,q=+-1,q=-1,d≠0所以，当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，公差为0，公比为1，所以该数列是常数列，即an=c（c是常数，c≠0）。 是等差数列a n-a n-1=d(d为常数，n是正整数).1是等比数列a n/a n-1=q(q为常数，n是正整数).2既是等差数列，又是等比数列，1、2二式联立，得d=0,q=+-1,q=-1,d≠0所以，当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，公差为0，公比为1，所以该数列是常数列，即an=c（c是常数，c≠0）。

除常数列外再无这种数列。

假设｛an｝即是等差数列，又是等比数列

那么

a(n-1)=an-d

a(n+1)=an+d

an平方=a(n-1)xa(n+1)=(an-d)(an+d)=an平方-d平方

d=0

即

｛an｝的每一项都相等

分析 根据数列的定义可判断（1）；根据正弦定理可判断（2）；根据诱导公式及三角函数的单调性，可判断（3）；根据数列前n项和与通项公式的关系，可判断（4）；根据已知求出S4，可判断（5）．

解答 解：（1）非零常数数列既是等差数列也是等比数列，故错误；
（2）在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，故正确；
（3）若A，B为锐角三角形的两个内角，
锐角三角形，所以A+B＞
π
2

即：\frac{π}{2}＞A＞\frac{π}{2}-B＞0，
所以sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=\frac{sinAsinB}{cosAcosB}＞1，正确；
（4）若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项an=Sn-Sn-1（n＞1），a1=S1，（n=1），故错误．
（5）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=3，S6=63，
则公比q≠1，
即\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}=3\\ \frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=63\end{array}\right.，解得：\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=1\\ q=2\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=-3\\ q=-2\end{array}\right.
则S4=15，故正确；
故答案为：（2）（3）（5）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差（比）数列的定义，数列的和及通项公式，正弦定理等知识点，难度中档．