r(a)= r(a')吗

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沉静如海M
2022-12-25 · TA获得超过2201个赞
知道答主
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秩是1。

用A'表示A的转置,要证明r(A'A)=r(A),只需证明方程组AX=0和A'AX=0同解。

如果AX=0,两边分别左乘A',得A'AX=0,这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解;另一方面,如果A'AX=0,两边分别左乘X',得X'A'AX=0,即(AX)'AX=0,令Y=AX,则Y'Y=0,注意Y=AX为n维列向量,因此可设Y=(y1,y2,yn)',则Y'Y=y1^2+...+yn^2=0,因此y1=yn=0,即Y=AX=0,这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解,综上我们证明了AX=0和A'AX=0同解,因此r(A'A)=r(A)。

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