Question

数列的极限存在吗？

Answer 1

证明：

(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)，对于任意的n都成立

则取对数有nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)，1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

令an=(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)，下面证明数列{an}是单调递减，且有下界的数列

a(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

故an是单调递减数列

又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn

=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn

=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn

=ln(n+1)-lnn>0

综上所述：数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在。

扩展资料：

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。