Question

微分方程y-4y+4y=6x2+8e2x的特解形式为______。

Answer 1

【答案】：y^*=ax²+bx+c+Ax²e^2x题设方程对应齐次方程的特征方程为r²-4r+4=0，特征根为r=2，其自由项f(x)=6x²+8e^2x可看成是f₁(x)=6x²与f₂(x)=8e^2x之和，而f₁(x)=6x²为P_m(x)e^λx型，且P_m(x)=6x²为二次式，λ=0不是特征方程的根，故特解形式为y^*₁=ax²+bx+c；f₂(x)=8e^2x也为P_m(x)e^λx型，且P_m(x)=8为常数，λ=2是特征方程的重根，故特解形式为y^*₂=Ax²e^2x。
因而，题设方程的特解的总形式为y^*=ax²+bx+c+Ax²e^2x。