Question

证明：设n阶方阵A满足A^2=A，证明A的特征值为1或0

Answer 1

设 a为矩阵A的特征值，X为对应的非零特征向量。

则有 AX = aX.

aX = AX = A^2X = A(AX) = A(aX) = aAX = a(aX) = a^2X,

(a^2 - a)X = 0,

因X为非零向量，所以。
0 = a^2 - a = a(a-1),
a = 0或1.

Answer 2

感觉上面两位说的都有问题。数学还是严谨点好。
第一位显然是错的，又没告诉你A是2阶方阵，凭什么说特征多项式就是2次的啊？第二位讲的太简单了，逻辑上不太清楚，有点给人想当然的感觉。

我觉得应该用矩阵论的Hamilton-Cayley定理:
A^2=A，说明f(x)=x^2-x是矩阵A的一个化零多项式，根据Hamilton-Cayley定理，A的特征值只可能是化零多项式的根。也就是说，特征值可能是全0，可能是全1，也可能0、1都有，但不可能出现0、1之外的数。

Answer 3

特征方程为λ^2=λ
即λ^2-λ=λ(λ-1)=0
A的特征值为1或0

Answer 4

设λ为其特征值，有
λ^2=λ
λ（λ-1）=0
λ=1或0 。