Question

为何初等矩阵相乘，秩不变？

Answer 1

矩阵是变的，（不属于同一矩阵）这样属于等价变化，矩阵的秩不变。

矩阵某行或列乘k，如果k不为0，则矩阵秩不变。

乘之前与乘之后两个矩阵的行向量组可以互相线性表示。

即两个向量组等价。

故它们的秩相同。

矩阵的秩 = 行秩 = 列秩。

所以矩阵的秩不变。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。