Question

矩阵初等行变化后，其秩不变。为什么啊

Answer 1

假设m*n矩阵a，乘以n阶初等变换矩阵b，得到矩阵c
（相当于a进行初等变换得到c，只需证明a和c的秩一样就行了）
r（ab)>=r(a)+r(b)-n=r（a)
因为初等变换的矩阵都是可逆矩阵，秩为n
又因为r（ab）<=min(r(a),r(b))=r(a)
所以r（ab)=r（c)=r（a）
也就是说a经过初等矩阵变换后的秩等于a的秩
希望对楼主有所帮助

Answer 2

这个是定理,
证明时对三种初等变换逐个说明.
设
a1,a2,...,an是矩阵A的列向量,
交换
1,2列得
a2,a1,...,an,
两个向量组等价,
所以秩相同.
同样第1列的k倍加到到2列时
得向量组
a1,
a2+ka1,
....,
an,
由于
a2
=
(a2+ka1)
-
ka1,
所以两个向量组等价,
故秩相同.
某列乘一非零数
显然成立