Question

若正数a,b满足ab(a+8b)=20,则a+3b的最小值？

Answer 1

我们需要找到满足条件 ab(a+8b) =

20 的正数 a 和 b。

首先，我们将等式 ab(a+8b) = 20 展开：

a^2 b + 8ab^2 = 20

我们可以将这个等式转换为关于 a 和 b 的二元二次方程形式。现在，我们可以使用柯西不等式来解决问题。根据柯西不等式，对于任意的正数 x1, x2, y1, y2，有：

(x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) >= (x1x2 + y1y2)^2

将我们的等式转换为柯西不等式的形式：

(a^2 b + 4ab^2)(4ab^2 + 4ab^2) >= (2ab + 4ab)^2

(a^2 b + 8ab^2)^2 >= (6ab)^2

(a^2 b + 8ab^2)^2 >= 36a^2 b^2

a^2 b + 8ab^2 >= 6ab

根据题目条件，我们有 ab(a+8b) = 20。因此：

a+8b = 20 / ab

现在我们要找到 a+3b 的最小值。我们可以通过替换变量来简化问题。令 x = a+3b，我们可以将其表示为：

a+8b = (a+3b) + 5b = x + 5b

现在我们将上面得到的不等式代入：

x+5b >= 20 / ab

我们需要找到 x+3b 的最小值，所以我们希望右侧的表达式尽可能小。因此，我们将右侧的表达式取到最小值，即取等号。这意味着：

x+5b = 20 / ab

最后，我们解出 x 的值：

x = 20 / ab - 5b

综上所述，a+3b 的最小值为 20 / ab - 5b。