Question

循环节里有几位数字的循环小数最大是多少？

Answer 1

分子是1，化成的小数的循环节里有n位数字的纯循环小数的分数，简称为F(n)
把命题：分子是1，化成的小数的循环节里有n位数字的纯循环小数的最大分数，简称为M(n)
根据循环小数化分数的方法，为了便于寻找规律，从M(1)开始分析如下：
（1）
∵ 9 = 3^2
∴ F(1)=1/3
∴ M(1)=1/3
（2）
∵ 99 = 3^2 * 11
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(2)=1/11（其余组合不必再列出，下同）
∴ M(2)=1/11
（3）
∵ 999 = 3^3 * 37
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(3)=1/27，或F(3)=1/37
∴ M(3)=1/27
（4）
∵ 9999 = 3^2 * 11 * 101
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(2)=1/11，或F(4)=1/101
∴ M(4)=1/101
（5）
∵ 99999 = 3^2 * 41 * 271
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(5)=1/41，或F(5)=1/271
∴ M(5)=1/41
（6）
∵ 999999 = 3^3 * 7 * 11 * 13 * 37
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(3)=1/27，或F(6)=1/7，或F(2)=1/11，或F(6)=1/13，或F(3)=1/37
∴ M(6)=1/7
（7）
∵ 9999999 = 3^2 * 239 * 4649
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(7)=1/239，或F(7)=1/4649
∴ M(7)=1/239
（8）
∵ 99999999 = 3^2 * 11 * 73 * 101 * 137
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(2)=1/11，或F(8)=1/73，或F(4)=1/101，或F(8)=1/137
∴ M(8)=1/73
（9）
∵ 999999999 = 3^4 * 37 * 333667
∴ F(1)=1/3，或F(1)=1/9，或F(3)=1/27，或F(9)=1/81，或F(3)=1/37，或F(9)=1/333667
∴ M(9)=1/81

可以看出当9有x位是，F的下标都是x的因子，并且小于x的因子与先前的分析是不冲突的
∴ M(5)=1/41，M(6)=1/7，M(7)=1/239，M(8)=1/73