已知复数z满足｜z｜＝1，且z不等于正负1，求证z＋i/z－i是纯虚数
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z = cosa + isina, 0 < a < 2PI. a不等于PI,a不等于PI/2[因z-i不等于0].
(i+z)/(z-i) = [cosa + i(sina+1)]/[cosa + i(sina-1)]
= [cosa + i(sina+1)][cosa - i(sina-1)]/[(cosa)^2 + (sina-1)^2]
= [(cosa)^2 + i(cosasina + cosa - cosasina + cosa) + (sina)^2 - 1]/[(cosa)^2 + (sina)^2 - 2sina + 1]
= 2icosa/[2-2sina]
= icosa/(1-sina)
是纯虚数。
(i+z)/(z-i) = [cosa + i(sina+1)]/[cosa + i(sina-1)]
= [cosa + i(sina+1)][cosa - i(sina-1)]/[(cosa)^2 + (sina-1)^2]
= [(cosa)^2 + i(cosasina + cosa - cosasina + cosa) + (sina)^2 - 1]/[(cosa)^2 + (sina)^2 - 2sina + 1]
= 2icosa/[2-2sina]
= icosa/(1-sina)
是纯虚数。
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