Question

四面体O－ABC中，OA⊥OB⊥OC，问S△ABC与S△OAB、S△OBC、S△OCA之间有什么定量关系吗？

Answer 1

设S＝S△ABC.S1＝S△OBC.S2＝S△OCA.S3＝S△OAB.

显然：S1＝bc／2.S2＝ac/2.S3＝ab/2.作OD⊥AB,则CD⊥AB.

∵2S3＝ab＝OD·√（a²+b²）.∴OD＝ab/√（a²+b²）.

CD＝√（OD²+c²）＝√[（a²b²+b²c²+c²a²）/（a²+b²）].

∵S/S3＝CD/OD.

∴S＝（1/2）ab·√[（a²b²+b²c²+c²a²）/（a²+b²）]/[ab/√（a²+b²）]

＝（1/2）·√[（a²b²+b²c²+c²a²）＝√（S1²+S2²+S3²）.

即（S△ABC）²＝（S△OAB）²＋（S△OBC）²＋（S△OCA）²。