Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

经过A、B、C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，圆M的半径为√5.设圆M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。
(1)求m的值及抛物线的解析式
(2)判断△BCE的形状
(3)设∠DBC=α ,∠CBE=β ,求sin(α-β)的值

Answer 1

(1)点C的坐标（0，-3），|MC|^2=1+（m+3）^2,解得m=-1和m=-5（舍）。设抛物线与x轴交点坐标（t，0），该点与圆心（1，-1）距离等于根号5，解这个方程得A（-1，0）、B（3，0），从而抛物线方程为y=x^2-2x-3。
（2）用两点间距离公式求得|BC|^2=18,|EC|^2=2,|BE|^2=20,由勾股定理△BCE是直角三角形。
（3）D（0，1）。三角形BCD中，由余弦定理求出cosα=根号5/5，所以sinα=2除以根号5.同理，三角形BCE中，cosβ=3除以根号10，sinβ=1除以根号10.所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=根号2除以2.

Answer 2

(3)由（2）得：∠BCE=90°，
CE：BC=（根号2）：（3倍根号2）=1：3
OD：OB=1:3=CE：BC
∴ △BOD∽△BCE
∴∠OBD=β
∴sin（a-β）=∠DBC-∠ABD=sin∠OBC=OC：BC=3：（3倍根号2）=（根号2）：2