Question

请高手帮忙解答一道数学题,详细点.

求证:任意三角形的边长a,b,c满足不等式:a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc>a^3+b^3+c^3

Answer 1

a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc-(a^3+b^3+c^3)

=a[(b-c)^2-a^2]+b[(c-a)^2-b^2]+c[(a-b)^2+4ab-c^2]

=-a(a+c-b)(a+b-c)-b(a+b-c)(b+c-a)+c[(a+b)^2-c^2]

=-a(a+c-b)(a+b-c)-b(a+b-c)(b+c-a)+c(a+b+c)(a+b-c)

=(a+b-c)[-a(a+c-b)-b(b+c-a)+c(a+b+c)]

=(a+b-c)(-a^2-b^2+2ab+c^2)

=(a+b-c)[c^2-(a-b)^2]

=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
a,b,c是三角形的边长
所以a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0
a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc-(a^3+b^3+c^3) >0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc>a^3+b^3+c^3