Question

两道初一数学题，帮帮忙

1试说明对于任何自然数n,代数式2^n+4-2^n能被30整除
2求（1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)……(1+1/2^64)+1的值

Answer 1

1. 原式=2^n *(2^4-1)=2^n *15
=30*2^(n-1)
因为n是自然数，即n是大于等于1的整数，故 此式子除以30=2^(n-1)
n-1是大于等于0的整数，故2^(n-1）是大于1的整数

证毕

Answer 2

1: 2^(n+4)-2^n=16*2^n-2^n=15*2^n=30*2^(n-1) n>=1时 可被30整除
2：关键在于能否找到一个方法把它们逐次解决，方法是从第一个括号里提一个2出来，变成
2(3/4)(1+1/2^2)……（1+1/2^64)+1=2(1-1/2^2)(1+1/2^2)……（1+1/2^64)+1=2(1-1/2^4)(1+1/2^4)……（1+1/2^64)+1=……=2(1-1/2^128)+1=3-1/2^127

Answer 3

(1)思路：使式子出现30这个因子
2^(n+4)-2^n=(2^5-2)*2^(n-1)=30*2^(n-1)
(2)思路：在原式乘上（1-1/2），不断的产生平方差，可以巧解。
原式=(1-1/2)(1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)……(1+1/2^64)*2+1
=(1-1/2^2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)……(1+1/2^64)*2+1
……
=(1-1/2^64)(1+1/2^64)*2+1
=2-2/2^128+1
=3-1/2^127

Answer 4

1.
2^(n+4)-2^n
=2^n*2^4-2^n
=2^n(16-1)
=15*2^n
=30*2^(n-1)
由于n为自然数
则2^(n-1)为整数
则2^(n+4)-2^n
=30*2^(n-1)能被30整除

2.(1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)……(1+1/2^64)+1
=[2*(1-1/2)](1+1/2)(1+1/2^2)...(1+1/2^64)+1
=2*(1-1/2^2)(1+1/2^2)...(1+1/2^64)+1
=2*(1-1/2^128)+1
=2-1/2^127+1
=3-(1/2^127)