Question

三角函数的定积分

我发现有些书上是这样解含有三角函数的定积分的
例如：∫（上面π/2 下面0）（sinx)^6dx
书上这样解的：
=(5/6)*(3/4)*(1/2)*(π/2)=5π/32

请教一下~这是为什么呢，是这样的题型有一种专门的做法吗？

Answer 1

查积分表
∫(sinx)^6dx
=(1/8)∫(1-cos2x)^3dx
=(1/8)∫[1-(cos2x)^3+3(cos2x)^2-3cos2x]dx
----------------------------------------
其中
∫(cos2x)^3dx=(1/2)∫1-(sin2x)^2dsin2x=(1/2)[sin2x-(1/3)(sin2x)^3]
∫(cos2x)^2dx=(1/2)∫[cos4x+1]dx=(1/2)[(1/4)sin4x+x]
∫cos2xdx=(1/2)sin2x
----------------------------------------
=(1/8){x-(1/2)[sin2x-(1/3)(sin2x)^3]+(3/2)[(1/4)sin4x+x]-(3/2)sin2x}
=5x/2+(sin2x)^3/6+3sin4x/8-5sin2x/2

Answer 2

你好好看看题目，如果是减号，x能取pi/2吗。
如果是加号，那么这个积分就是某个椭圆的弧长，是没法用初等函数来表示的。