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解：假设y是一个常数，解x的一元二次方程：
14 x^2 - 24 x y + 21 y^2 + 4 x - 12 y - 18=0
{{x -> 1/14 (-2 + 12 y - Sqrt[2] Sqrt[128 + 60 y - 75 y^2])}, {x ->
1/14 (-2 + 12 y + Sqrt[2] Sqrt[128 + 60 y - 75 y^2])}}
由于：128 + 60 y - 75 y^2 >=0 --->{{y -> -0.96626}, {y -> 1.76626}}
y取值：{0,1}
当y=0时，x= 1
当y=1时，x=不是整数
所以答案是：x=1,y=0
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系科仪器
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14 x^2 - 24 x y + 21 y^2 + 4 x - 12 y - 18=0
主元法，化为关于x的方程：
14 x^2 +（4- 24y）x+ （21 y^2 - 12 y - 18）=0
因为x有解
所以△=（4-24y)^2-4*14(21 y^2 - 12 y - 18）≥0
整理得75y^2-60y-128≤0
解得（6-2√105）/15≤y≤（6+2√105）/15
因为-1＜（6-2√105）/15＜0，1＜（6+2√105）/15＜2
所以整数y=0，或1
当y=0时,原方程化为14 x^2 +4x-18=0,即7x^2 +2x-9=0,解得x1=1,或x2=-9/7（不为整数,舍去）
当y=1时,原方程化为14 x^2 -20x-9=0 ,解得x=（10±√226)/14,（都不为整数，舍去）
所以方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0的整数解为x=1，y=0
主元法，化为关于x的方程：
14 x^2 +（4- 24y）x+ （21 y^2 - 12 y - 18）=0
因为x有解
所以△=（4-24y)^2-4*14(21 y^2 - 12 y - 18）≥0
整理得75y^2-60y-128≤0
解得（6-2√105）/15≤y≤（6+2√105）/15
因为-1＜（6-2√105）/15＜0，1＜（6+2√105）/15＜2
所以整数y=0，或1
当y=0时,原方程化为14 x^2 +4x-18=0,即7x^2 +2x-9=0,解得x1=1,或x2=-9/7（不为整数,舍去）
当y=1时,原方程化为14 x^2 -20x-9=0 ,解得x=（10±√226)/14,（都不为整数，舍去）
所以方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0的整数解为x=1，y=0
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