Question

物理竞赛问题 杠杆

↓◎↑
↓ ↑
↓ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
↓（F） □（A） △（R）

把线段看成一条杠杆（打不出一条直线） R（三角形）是支点（杠杆的最右端） 在距离R点L0（长度）处 挂着一个重物A（正方形） A质量为M 整条杠杆单位长度质量为m （不是我打出来的一小段的质量） ◎为定滑轮 当杠杆长度为多少时 所需F的力最小？

参考答案是 2ML0 2mL0
－－ 的算术平方根 或 —— 中的一个
m M

PS 把（——）看成份数线 要详细过程 受力分析过程
一般初三学生要能看得懂！！！

Answer 1

设杠杆长为L，百度上不好打L0，就用L’代替吧……

根据“杠杆单位长度质量为m ”可知，杠杆质量是Lm，这个很容易得出一个力矩平衡方程：FL=MgL’+mgL²/2，〖为什么是水平的时候F取最小值？因为只有水平的时候F的力臂最长，F才有可能取最小值！〗

F=MgL’/L+mgL/2，针对这个函数(y=a/x+x/b)求极值，可得：L²=2ML’/m；L=g√(2ML’/m)。【m不是杠杆质量，而是线密度，单位Kg/m，因为开始计算杠杆质量的时候是写的mL；量纲检验的话，m要带线密度单位Kg/m。】

y=a/x+x/b，y’=-a/x²+1/b，y’=0(导数=0)时，恰好是函数y=a/x+x/b的拐点，即极值。0=-a/x²+1/b，x²=ab，也就是说当x=√(ab)的时候y取得极值。

对于函数：F=MgL’/L+mgL/2；其中F相当于是y，L相当于是x，a=MgL’，b=2/mg，ab=2ML’/m，也就是说当L=√(2ML’/m)时，F有最小值Fmin=g√(MmL’/2)+g√(MmL’/2)=2g√(MmL’/2)=g√(2MmL’)。

【PS：】你是初三的？那那个函数求极值的情况你们老师提过？昏倒！这种拉格朗日极值法是高等数学的内容，大学才学的……怎么和你解释啊？？？

不过你应该见过弦函数吧？比如正弦函数的图象，那种“波浪形”的图象。拉格朗日极值法的意义就是求函数上某个点的切线，其导数为零就是说过那个点的切线的斜率为零，即与x轴平行，那么，这个点就一定是函数拐弯的一个点，不是极大值就是极小值，具体是极大还是极小，就要看它的二阶导数的情况了。。

你确定你是初三？！初三的方法求这个函数的极值我觉得可能没有，有的话那或许也是几何作图法。

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算了，用猜想证明法吧。y=a/x+x/b，首先，把这个函数拆开，令y1=a/x(双曲线)，y2=x/b(直线)，现在我们找一个特殊的点A：y1=y2，即a/x=x/b，有x²=ab，x=√(ab)；A就是y1和y2的交点。

现在，我假设x=√(ab)时，y取最小值；y’=2√(ab)/b。【√表示根号】

证明：取x的邻域√(ab)-δ＜√(ab)+δ，δ是一个正数，且无限接近于零。现在我只需要证明x=√(ab)±δ两个值时，y的取值均大于y’=2√(ab)/b就可以了。
S=y-y’={ab+[√(ab)-δ]²}/{b[√(ab)-δ]}-2√(ab)/b=[ab+ab-2δ√(ab)+δ²]/{b[√(ab)-δ]}-[2√(ab)][√(ab)-δ]/{b[√(ab)-δ]}=[2ab-2δ√(ab)+δ²-2ab+2δ√(ab)]/{b[√(ab)-δ]}=δ²/{b[√(ab)-δ]}＞0，即y＞y’；同理，当x=√(ab)+δ时，可得y-y’=[2ab+2δ√(ab)+δ²-2ab-2δ√(ab)]/{b[√(ab)-δ]}=δ²/{b[√(ab)-δ]}＞0，即y＞y’；综上所述，ymin=y’。

也就是说当x=√(ab)的时候，y取得最小值ymin=2√(ab)/b。对于之前所说的物理函数：F=MgL’/L+mgL/2；其中F相当于是y，L相当于是x，a=MgL’，b=2/mg，ab=2ML’/m，也就是说当L=√(ab)=√(2ML’/m)时，F取得最小值Fmin=2√(ab)/b=2√(2ML’/m)÷(2/mg)=g√(2MmL’)。

Answer 2

辛苦楼上了。其实他的解法的最关键一部就是第一步，力矩平衡。力矩的意思就是力乘以力臂。

但是求极值为什么用那么复杂的办法呢？
初中的方法是配方法，sqrt是平方根的意思。
如果是数学的，y=a/x+x/b= [sqrt(a/x)- sqrt(x/b)]^2+ 2* sqrt(ab)≥
2* sqrt(ab），使用配方法就可以了。

我想了想，有没有更物理的办法，不好找，毕竟力矩平衡是最最直接的。

祝好。把分数给楼上吧，他很辛苦了。你弄懂就好