Question

求解一道超难的概率题

有100件产品其中有3件次品，若每次只取一件产品且取到正品时放回取到次品时拿出。问至少取多少次可将所有次品全部取出？（P>=90%的事件被认为是必然事件）

Answer 1

这个题目的真正要问的是：“至少取多少次可将所有次品全部取出的概率>=90%?）
开始时，每取一次拿到次品的概率=3/100
至少需要30次才能使拿到次品的概率>=90%
剩2个次品时，每取一次拿到次品的概率=2/99
至少需要45次才能使拿到次品的概率>=90%
剩1个次品时，每取一次拿到次品的概率=1/98
至少需要89次才能使拿到次品的概率>=90%
所以结论为30+45+89=164（次）

Answer 2

答案 N = 54次。

题目最后一句话我理解为，若3个次品平均分布在100个位置当中，当它们全部在前N个位置时的概率要超过90%，问N最少是多少。
首先看3次品在100个位置当中有多少种可能。应该是 100!/3!/97! = 98*99*100/6 = 161700. 那么在 x=(100-N) 个位置里它们可以有多少种排列呢？应该是 x!/3!/(x-3)!，而这个数必须要小于总数的10%，也就是16170。
剩下的就是代入了，当x=46时，15180，可以；x=47时，16215，超出。所以只看前（100-46）个产品就可以有90%以上的无次品率。顺便说一下，精确值应该是90.61%。

Answer 3

如果你确定使这个题目的话，我告诉你答案！三次！原因很简单，因为有三个次品，每次只能取出一个，所以至少得拿三次才能全部拿出，至于最多，就是无数次了！

Answer 4

这道题果然有挑战性。

先考虑有100件产品其中有3件次品，经过n次取到第一件次品的概率。
an=(1-3/100)^(n-1)*(3/100)

再考虑有99件产品其中有2件次品，再经过m次取到第二件次品的概率
bm=（1-2/99)^(m-1)*(2/99)

再考虑有98件产品其中有k件次品，再经过k次取到第三件次品的概率
ck=（1-1/98)^(k-1)*(1/98)

所以按这样得到
p（n，m，k）=an*bm*ck
设n+m+k=N
则PN=∑p（n，m，k） 对所有n+m+k=N
PN=∑p（n，m，k）
=∑ 3/100 *(97/100)^(n-1) * 2/99 *(97/99)^(m-1) * 1/98 *(97/98)^(k-1)
=6/(100*99*98) * ∑ (97/100)^(n-1) *(97/99)^(m-1) *(97/98)^(k-1)

下面我还要考虑考虑

Answer 5

假如都没拿到次品
最后剩次品
则3/x>0.9
x=3.33
所以至少剩3个才成立
所以得把97件拿走
所以最少拿97次