Question

已知数列{an}中,a1=2,an+1=(根号2-1)（an +2），n=1，2，3，4……，求通项公式

已知数列{an}中,a1=2,an+1=(根号2-1)（an +2），n=1，2，3，4……，求通项公式

Answer 1

an=(根号2-1)((an-1)+2)
an-1=(根号2-1)((an-2)+2)==> (根号2-1)(an-1)=(根号2-1)^2((an-2)+2)
an-2=(根号2-1)((an-3)+2)==> (根号2-1)^2(an-2)=(根号2-1)^3((an-3)+2)
...... ......
...... ......
...... ......
a3=(根号2-1)((a2)+2)==> (根号2-1)^(n-3)(a3)=(根号2-1)^(n-2)((a2)+2)
a2=(根号2-1)((a1)+2)==> (根号2-1)^(n-2)(a2)=(根号2-1)^(n-1)((a1)+2)

所有式子相加得（左右两边可以相约相同的项）
an=2（1+(根号2-1)+(根号2-1)^2+。。+(根号2-1)^(n-1))-(根号2-1)^(n-1)(a1) [等比数列n项和]（a1（1-q^n）/(1-q)）
=2X(1-(2-根号2)^n)/(2-根号2)-2X（根号2-1)^(n-1)
化简得
an=（2+根号2）[1-(根号2-1)^n]-2（根号2-1）^n-1

Answer 2

由an＋1＝(2½－1)an＋(2×2½－2)设an和an＋1为x，可求出x＝2½，那么(an＋1－2½)＝(2½－1)(an－2½)那么an－2½成等比数列且公比为2½－1又由以知条件可以求出通项公式an＝(1－2½)(2½－1)^((n－1))＋2½主要方法是特征方程法也可以用搭配来做