Question

求曲线y=x^2-2x,y=0,x=1,x=3所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V

正确答案是9pai，请给下过程

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

由于y=x²-2x的对称轴为x=1，绕y轴旋转前的面积都在对称轴的右侧，因此把方程y=x²-2x写成
x²-2x-y=0，反解出x=[2+√(4+4y)]/2=1+√(1+y)(根号前只取正号)。

y=-1时x=1；y=0时x=2；y=3时x=3。

体积V={[-1，0]π∫[1+√(1+y)]²dy-π×1²×1}+{π×3²×3-[0，3]π∫[1+√(1+y)]²dy}。

={[-1，0]π∫[2+y+2√(1+y)]dy-π}+{27π-[0，3]π∫[2+y+2+√(1+y)]dy}。

={π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[-1，0]-π}+{27π-π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[0，3]}。

={(17π/6)-π}+{27π-π[6+(9/2)+(4/3)×8-(4/3)]}=11π/6+27π-119π/6=27π-18π=9π。

曲线的左端点

代表黑场，假如你把这个点提高，头发、眼珠等黑颜色就会变亮；你把这个点向右拉（现在无法再把它降低），阴影会变得更黑，甚至发焦，但当画面黑场不足时，用这个办法可以加深黑场。

曲线的右端点代表白场，假如你把这个点降低，高光就会变暗，鼻尖、眉弓等处的反光就会变成灰色，这一般是不采用的；假如你把这个点向左拉（它已经无法再升高），接近高光的亮颜色就会变成高光，当画面亮调灰暗无力时，这是一个办法。

Answer 3

由于y=x²-2x的对称轴为x=1，绕y轴旋转前的面积都在对称轴的右侧，因此把方程y=x²-2x写成
x²-2x-y=0，反解出x=[2+√(4+4y)]/2=1+√(1+y)(根号前只取正号)；
y=-1时x=1；y=0时x=2；y=3时x=3；
体积V={[-1，0]π∫[1+√(1+y)]²dy-π×1²×1}+{π×3²×3-[0，3]π∫[1+√(1+y)]²dy}
={[-1，0]π∫[2+y+2√(1+y)]dy-π}+{27π-[0，3]π∫[2+y+2+√(1+y)]dy}
={π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[-1，0]-π}+{27π-π[2y+(y²/2)+(4/3)(1+y)^(3/2)]︱[0，3]}
={(17π/6)-π}+{27π-π[6+(9/2)+(4/3)×8-(4/3)]}=11π/6+27π-119π/6=27π-18π=9π
ps:这是数学老师写的，能看懂不？我有一步没明白，就是兀x3^2x3，这部为什么又乘以个三，明明paiR方就是圆面积了，怎么又乘以个R呢，你看懂给我讲一下吧。

Answer 4

这个要积分的啊,写出详细答案很麻烦的啊.....