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若(a^2+b^2)/(1+ab)为整数,则它是平方数
证明 反证法，假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数，但k不是平方数，由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的，不妨设a≥b，对确定的b,k，考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解，x是它的另一个解，由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数，由k不是平方数得x不等于零，如果x<0,则x≤-1，-x≥1，从而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,这是不可能的，故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对，由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾。
证明 反证法，假设(a^2+b^2)/(1+ab)=k为整数，但k不是平方数，由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,设(a,b)是使上式成立的所有整数对中使a+b最小的，不妨设a≥b，对确定的b,k，考虑2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一个解，x是它的另一个解，由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整数，由k不是平方数得x不等于零，如果x<0,则x≤-1，-x≥1，从而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,这是不可能的，故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整数对，由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,这与a≥b矛盾。
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