Question

大学概率论与统计原理的问题

甲乙进行射击比赛，每进行一次，胜者得一分。在一次射击中，甲胜的概率是a，乙胜的概率是b，设a>b(a+b=1），且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就 停止，多得2分者胜，分别求甲，乙胜的概率？

Answer 1

甲在比赛了2k次时胜出等同于（k为正整数）
甲第1局胜，乙第2局胜，甲第3局胜，乙第4局胜，……，乙第2k-2局胜，甲第2k-1局胜，甲第2k局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_2k为
p_2k=a*b*a*b*...*b*a*a=a^2*(ab)^(k-1)
同理，甲在比赛了2k次时胜出等同于
乙第1局胜，甲第2局胜，乙第3局胜，甲第4局胜，……，乙第2k-3局胜，甲第2k-2局胜，甲第2k-1局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_(2k+1)为
p_(2k+1)=b*a*b*a*...*b*a*a=a^2*b*(ab)^(k-1)
从而甲获胜的概率为
∑p_k=∑p_2k+∑p_(2k+1)
=∑a^2*(ab)^(k-1)+∑a^2*b*(ab)^(k-1)
=a^2/(1-ab)+a^2*b/(1-ab)
=a^2*(1+b)/(1-ab)
同理，乙获胜的概率为
b^2*(1+a)/(1-ab)
利用a+b=1，以上表达式还可以化为其他的不同形式，这里略去。
另外还可以验证a^2*(1+b)/(1-ab)+b^2*(1+a)/(1-ab)=1。