Question

如何证明方阵A与AT有相同的特征多项式

Answer 1

证明方阵A与AT有相同的特征多项式

若能证明 |  A -λE  |= |B-λE |，则矩阵 A和矩阵B有相同的特征值

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证明方法如下：

Answer 2

(相似矩阵具有相同的特征多项式。)
转置矩阵与原矩阵的行列式相同，
所以：|A|=|A^T|（由行列式额度展开式可以证明）
A-vE与A^T-vE只有对角线上的元素不同，所以互为转置矩阵，即
(A-vE)=(A^T-vE)^T；（v代表特征值lumda，没在word，未打出来），
所以其行列式相等，由定义，即A与A^T的特征多项式相同。

Answer 3

A的特征多项式f(x)＝|A-xI|,A^T的特征多项式g(x)=|A^T-xI|,I为单位阵。
现在证明f(x)=g(x):
g(x)=|A^T-xI|=|A^T-xI^T|=|(A-xI)^T|=|A-xI|=f(x)
所以它们有相同的特征多项式。