Question

【急】高一数学题

已知四边形ABCD,E为AD中点，F为BC中点，求证：向量EF+向量EF=向量AB+向量DC
快

Answer 1

解：随便作一个四边形，有等式AB=AF+FB;DC=DF+FC;AF=AE+EF;DF=DE+EF
联立1、2式得，AB+DC=AF+FB+DF+FC(由于FB与FC模相等但方向相反，则
FB+FC=0；则AB+DC=AF+DF=AE+EF+DE+EF(由于AE与DE模相等但方向相反，则
AE+DE=0）则AB+DC=EF+EF。 得证

Answer 2

向量符号我打不出来就不写了，下面的AB等于向量AB
AB+DC=（AE+EF+FB）+（DE+EF+FC)=(AE+DE)+2EF+(FB+FC)
因为E为AD中点，F为BC中点，所以
（AE+DE)+2EF+(FB+FC)=2EF

Answer 3

EF=ED+DC+CF,EF=EA+AB+BF,两式相加，注意到ED+EA=0,CF+BF=0,即得证。

Answer 4

连接AC，取AC的中的G，连接EG,FG。由中位线定理可知：向量AB=2向量EG,向量DC=2向量GF，故：向量AB+向量DC=2向量EG+2向量GF=2向量EF