Question

不等式题目:已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证:-2/3<=c<=1

Answer 1

a+2b+c=1, a=1-2b-c代入a^2+b^2+c^2=1

并整理得：5b^2+4(c-1)b+2(c^2-c)=0

把上式看作是关于b的一元二次方程

则 Δ＝16(c-1)^2-40(c^2-c)≥0

3c^2-c-2≤0

解得：-2/3≤c≤1

Answer 2

证明:
1:由a^2+b^2+c^2=1知
-1≤a≤1
-1≤b≤1
-1≤c≤1

2:如果你是高中生的话,这样解:
a+2b+c=1表示一个平面
a^2+b^2+c^2=1表示一个球体,半径为1
平面截球体,截面上c的取值范围就是所求

因为在ab平面上(c=0),直线a+2b=1与圆a^2+b^2=1的交点为
a1=1,b1=0
a2=-3/5,b2=4/5
所以两个交点连线的中点坐标为a=1/5,b=2/5)
在由a,b,c为坐标轴的三维系统中,按a,b,c顺序,过点(0,0,1)和(1/5,2/5,0)的直线与球a^2+b^2+c^2=1的交点就是所求
得c=-2/3
所以-2/3≤c≤1

如果是初中生,我还没想出办法来