Question

求关于X的函数Y=(a+sinx)(a+cosx)(a>0)的最大值与最小值

要快啊

Answer 1

1．方法
数形结合，动静结合，分类讨论。
2．思路
f(t)=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. （-√2≤t≤√2）
函数f(t)是开口向上,对称轴t= -a的抛物线.
问题转化为二次函数在闭区间最值问题.
动轴定区间.
分对称轴在闭区间左侧,之中,右侧讨论,其中区间中点是一个重要界点.
3．解答
y=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a^2.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2），
则sinxcosx=（t^2-1）/2，
f(t)=(t^2+2at+2a^2-1)/2，（-√2≤t≤√2）。
问题转化为求f(t)的最值
f(t)=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. （-√2≤t≤√2）
0<a≤√2时，
f min=f(-a)=（a^2-1）/2,
f max=f(-√2) ＝a^2-√2a+1/2.
当a＞√2时，
f min=f(-√2)＝ a^2-√2a+1/2
f max=f(√2)＝ a^2+√2a+1/2，
4．其他方法
也可用导数法求最值。
y’=t+a.转化为最值恒成立问题。也分两类。

Answer 2

f(x)=(a+sinx)(a+cosx)
=a^2+a(sinx+cosx)+sinxcosx
=a^2+√2asin(x+π/4)+1/2sin2x
=a^2+√2asin(x+π/4)-1/2cos(2x+π/4)
=a^2+√2asinθ-1/2cos2θ ,(θ=x+π/4)
=a^2+√2asinθ-1/2[1-2sin^2θ]
=t^2+√2at+a^2-1/2 ,(t=sinθ)
=(t+√2/2*a)^2+(a^2-1)/2 ，(-1≤t≤1)
当a≥√2时
f(t)≤f(1)=a^2+√2a+1/2
f(t)≥f(-1)=a^2-√2a+1/2
当0≤a≤√2
f(t)≥f(-√2/2*a)=(a^2-1)/2
f(t)≤f(1)=a^2+√2a+1/2

∴f(x)的最大值为a^2+√2a+1/2
当a≥√2时，
f(x)的最小值为a^2-√2a+1/2
当0≤a≤√2时
f(x)的最小值为（a^2-1)/2