Question

求函数极值和单调性

请教高数题目一道
求函数极值和单调性
y=x+|sin2x|
答案是 在[kp/2+p/3,kp/2+p/2]单调下降
在[kp/2,kp/2+p/3]单调增加
这里p表示π
我不知道该怎么做

Answer 1

用数形结合法即可轻易地解答这个问题 

函数：y=x+|sin2x|的图形可以看作是：y=x与y=|sin2x|的叠加 

y=x的图像非常简单，是一条直线 

把函数y=sinx图像横坐标缩小到原来的1/2，即可得到函数y=sin2x的图像 

把函数y=sin2x的图像的x轴下面的部分翻转到x轴上方， 

即可得到函数y=|sin2x|的图像，它的周期是：2π/2/2=π/2 

y=x与y=|sin2x|的叠加之后就是函数y=x+|sin2x|的图像 

y=x+|sin2x|图像就是沿着直线y=x向上爬升的曲线y=|sin2x|，且，它的图像位于直线y=x的上方 

画出y=x+|sin2x|的草图， 

从图上可以看出，在每个区间[kπ/2，kπ/2+π/2]，函数曲线有着相同的单调性 

令k=0，研究区间[0，π/2]函数的单调性 

在区间[0，π/2]，2x∈[0，π]，sin2x＞0，函数可化为y=x+sin2x 

y′=1+2cos2x, 令y′=0，得，cos2x=-1/2, x∈[0，π/2]，2x∈[0，π] 

所以，2x=2π/3，x=π/3，从图像显见，在x=0，x=π/2处函数取得极小值，在x=π/3处函数取得极大值 

所以，在区间[0，π/2]，x∈[0，π/3]时，函数单调增，x∈[π/3，π/2]时，函数单调减 

在整个定义域，在x=kπ/2，x=π/2+kπ/2处函数取得极小值，在x=π/3+kπ/2处函数取得极大值，x∈[kπ/2，π/3+kπ/2]时，函数单调增，x∈[π/3+kπ/2，π/2+kπ/2]时，函数单调减

Answer 2

可先求导
在令导数为零从而求出其单调性