具体回答如下：
因为|y－0|＝|xsin(1/x)|≤x
所以对于任意小的正数ε
要使得|y－0|＜ε
只要|x|＜ε即可
所以，存在正数δ＝ε
当0＜|x－0|＜δ时
恒有|y－0|＝|xsin(1/x)－0|＜ε
所以，y＝xsin(1/x) 当x→0时为无穷小
倍角半角公式：
sin ( 2α ) = 2sinα · cosα
sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )
sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2)
由泰勒级数得出
sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )
级数展开
sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )
导数
（ sinx ） ' = cosx
（ cosx ) ' = ﹣ sinx
∵0≤|sin1/x|≤1
∴|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|
对于所有的ε内>0,取ε=δ，存在容δ，使得
当0<|x|<δ时，|f(x)|=|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|<δ=ε
这就证明了f(x)的极限为0
扩展资料：
无穷小的性质：
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
所以-x≤xsin(1/x)≤x
y=x和y=-x 在x→0的时候都=0 (这个不用我教你证明吧)
所以xsin(1/x)在x→0的时候也=0
∴|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|
对于所有的ε>0,取ε=δ，存在δ，使得
当0<|x|<δ时，|f(x)|=|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|<δ=ε
这就证明了f(x)的极限为0.
