Question

高手帮忙啊。。怎么证明：任意n阶复方矩阵总相似于上三角阵？

Answer 1

S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵

Answer 2

数学归纳法就可以证出来
1阶显然成立；假设n-1阶成立，考虑n阶复矩阵A。
任取A的特征值入，设alpha1为对应特征向量，将其扩充为C的一组基alpha1，…alpha n。
取P＝（alpha1 … alpha n）为可逆阵，且P^(-1)AP=（入；alpha；0；A1）（即写成分块矩阵的样子，从左到右从上到下以此为上述四个元素），其中A1为n-1阶复矩阵，故由假设，存在n-1阶可逆阵Q1，使得Q1^(-1)A1Q1为上三角阵。取n阶可逆阵Q=diag{1，Q1}，则Q^(-1)AQ为上三角阵，由数学归纳法，证毕。

Answer 3

1.A可化为Jordan形矩阵，再把每个根子空间的基的顺序倒转即可。 2.由代数基本定理知A有n个特征根。另一方面，把A化成Jordan形矩阵，则f(A)是下三角矩阵，它的对角元为f(λ1),f(λ2),...,f(λn)，所以f(λ1),f(λ2),...,f(λn)为f(A)的全部特征根。

Answer 4

这是个结论吧，那个上三角阵就是矩阵的若当（Jondan）标准型啊。你的意思就是要证明矩阵的若当标准型必定存在是吧，这个要看教科书了，我记得是很烦的过程，《矩阵论》的书上都有的。

Answer 5

用归纳法比较显然吧。。