Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠B<45°．请依次按以下要求作图并回答问题

（1）在AB上找一点D，使得点D到点C的距离与点D到线段BC的距离之和最小，请在图(a)中画出图形（不要求尺规作图）并写出．．点．D．的作法．．．；
（2）在（1）中作图的基础上，连接CD，求证：CD=CA；
（3）在（1）和（2）中作图的基础上，继续在线段BC上找一点E，使得∠DEC=2∠B，直线DE交直线AC于点F；再在直线BC上找点P，使得PA=CF，探究所得线段AP与线段CD的关系如何．关于这个问题，小马经过探究后说：“AP与CD相交，交点恰好是AP的中点”，你同意他的结论吗？为什么？（可以利用备用图进行探究，也可自己重新作图．）

Answer 1

（1）

画出C点关于AB的镜像：

以C为圆心，AC为半径，画圆弧，交AB于G，交BC于E

分别以A、G为圆心，AC为半径，画圆弧，相交于C'点。

过C‘点，做BC的垂线，交AB于D点（实际上它与G点重合），则D点就是所求点。

证明：

∵ AC=CG=AC’=C’G，AG共用，∴ △ACG≌△AC'G。

∵ △ACG≌△AC'G，∴ CAG=GAC‘。

∵ CAG=GAC‘，∴ AB是CAC’的角平分线。

∵ AB是CAC’的角平分线，∴AB上任何一点到C和C’的距离相等。CC’⊥AB

如图，D是AB直线与BC的垂线CE直线的交点，D’和D‘’是AB直线上不在CE直线上的两点。

如果我们分别过D‘和D’‘作CE的垂线，∵ CD‘=C’D‘，CD''=C’D‘’，CD=C'D，∴ 实际上就是比较C'D‘+D‘E’、C‘E、C'D’‘+D’‘E''的大小。

由于CD’和CD‘’是斜边，总是大于直角边，所以C‘E最小，所以D点就是所求点。

（2）

∵ C'E⊥BC，AC⊥BC，∴C'E//AC

∵ C‘E//AC，∴ EC’C=C‘CA=CC‘G

即G在CE上，∴ D和G重合。CD=CG=CA。

（3）

同意。

∵ DEC=2ABC=FCD，∴ FDC=DEC+ECD=FCD+ECD=90°

∴ AP=CF，AC=CD，FDC=90°=ACP，∴ △ACP≌△CDF

∵ △ACP≌△CDF，∴PAC=ACD

∵ PAC=ACD，∴AO=CO

∵ OPC=ACP-CAP=ACP-OCA=PCO

∴ OP=OC

∵ OP=OC，OA=OC，∴OP=OA

Answer 2

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