Question

如图,AB为⊙O的直径,CA,CD分别切⊙O于A,D,CO的延长线交圆⊙O与M

Answer 1

（1）
∵CA、CD分别切⊙O于A、D，∴CA＝CD，又OC＝OD，∴CM是AD的垂直平分线，∴CO⊥AD。
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，而CM⊥AD，∴BD∥CM。

（2）
令AD、CO相交于E。
∵sin∠MCD＝3/5，∴可不失一般性地设CO＝5、DO＝3，容易求出：CD＝4。
∵∠DCE＝∠OCD、∠CED＝∠CDO＝90°，∴△DCE∽△OCD，
∴DE/DO＝CE/CD＝CD/CO＝4/5，∴DE＝（4/5）DO＝12/5、CE＝（4/5）CD＝16/5。
显然有：CM＝CO＋MO＝CO＋DO＝5＋3＝8，∴EM＝CM－CE＝8－16/5＝24/5。
∴DM^2＝EM^2＋DE^2＝（24/5）^2＋（12/5）^2＝（2^2＋1）（12/5）^2，
∴DM＝（12/5）√5。
∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠DME。
∴cos∠BDM＝cos∠DME＝EM/DM＝（24/5）/［（12/5）√5］＝2/√5＝（2/5）√5。