Question

已知函数f(x)=x+a/x(a∈R),g(x)=lnx

1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间2）若关于x的方程g(x)/x�0�5=f(x)-2e(e为自然数对数的底数）只有一个实数根，求a的值

Answer 1

∵F(X)=f(X)+g(X)=X+a/X+InX(X>0)
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X
令F'(X)=0，1/X=t(t>0)
则-at^2+t+1=0，t1=[-1-√(1+4a)]/(-2a)，t2=[-1+√(1+4a)]/(-2a)
①若1+4a≤0且a≠0，a≤-1/4，则F'(X)≤0，F(X)于(0,+∞)单调递减
②若1+4a≥0且a≠0，a≥-1/4，假设t1≤0，t2≥0时，即[-1-√(1+4a)]/(-2a)≤0，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0
当a∈(-1/4,0)时，t1≤0恒成立，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => 1+4a≥1 => a≥0不成立
当a∈(0,+∞)时，t1≤0恒不成立，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => a≤0亦不成立
∴a∈(-1/4,0)时，t1,t2≤0；a∈(0,+∞)时，t1>0,t2<0
③若a=0，则F'(X)=1+1/X>0恒成立(X>0)，F(X)于(0,+∞)单调递增
综上，a∈(-∞,0)时，F(X)于(0,+∞)单调递减
a=0时，F(X)于(0,+∞)单调递增
a∈(0,+∞)，F(X)于(0,(-2a)/[-1-√(1+4a)])单调递增，于((-2a)/[-1-√(1+4a)],+∞)单调递减