Question

若x，y属于R，且3x^2+2y^2=6，则x+y的最大值是-，x^2+y^2的最小值是-

Answer 1

则x+y的最大值是根号5，x²+y²的最小值是2。
因为x，y属于R，且3x²+2y²=6，
所以可设x=√2sinθ，y=√3cosθ
则x+y=√2sinθ+√3cosθ=√5sin(θ+δ)，其中tanδ=√6/2
x²+y²=2sin²θ+3cos²θ=2+cos²θ
因为正余弦函数满足-1≤sin(θ+δ)≤1，0≤cos²θ≤1
所以-√5≤x+y≤√5，2≤x²+y²≤3

Answer 2

3x^2 2y^2=6x

整理得：2x^2 2y^2=6x-x^2

对等号右侧进行配方，得到：2(x^2 y^2)=-(x-3)^2 9

所以x^2 y^2=-0.5(x-3)^2 4.5

等号右边是一条关于x=3对称开口向下的抛物线，但x的定义域尚待求出。

求x的定义域要用到椭圆曲线解题的思路，用椭圆曲线的方法可以证明原方程代表的是一个关于x=1对称的，长轴垂直于y轴的椭圆，半长轴为二分之根号六，半短轴为1，所以x的定义域是[0，2]。

这个区间在x=3的左侧，因此

x^2 y^2=-0.5(x-3)^2 4.5在闭区间[0，2]上是单调增函数，当x=0时取得最小值0，当x=2时取得最大值4。