Question

定义域R的奇函数f(x),当x∈(－∞,0)时f(x)+xf'(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)

定义域R的奇函数f(x),当x∈(－∞,0)时f(x)+xf'(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3) ，c=-2f(-2)，则、比较a，b，c三者大小
答案为：

我的问题是：为什么依题意g(x)是偶函数，难道f(x)是奇函数，再乘以x就变成偶函数了？为什么？
还有为什么当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，即g'（x）＜0恒成立时，g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，，递减这部分明白，为什么则g（x）在（0，+∞）上单调递增？

Answer 1

答：
f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)
g(x)=xf(x)，定义域与f(x)相同都是实数范围R，关于原点对称
g(-x)=(-x)f(-x)=-x*[-f(x)]=xf(x)=g(x)
所以：g(x)是偶函数
g'(x)=f(x)+xf'(x)<0在x<0时成立
所以：g(x)在x<0时是单调递减函数
偶函数在原点两侧的单调性是相反的，因此x>0时g(x)是单调递增
奇函数在原点两侧的单调性是相同的。——这个知识点需要记住