Question

高中数学竞赛高手进

若不等式1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）>a/24对一切正整数n都成立，求a的最大值。这道题我会做，很简单。我想问问有没有高手能有很简单的做法能几步就做出来。不要构造函数和数学归纳法，那些太弱智了。

Answer 1

因为不等式对于一切正整数n都成立
求a的最大值，即1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1的最大值
当分母越小时，分式越大，又n为正整数
所以当n=1时，1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1的值最大
即1/2+1/3+1/4=26/24，所以不等式为26/24>a/24
所以a<26，若取正整数a最大值为25

Answer 2

f(n)=1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）
f(n+1)=1/（n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4) +……+1/[3(n+1)+1]
f(n+1)-f(n)=1/（n+1) - 1/(3n+2)-1/(3n+3)-1/(3n+4)>0
所以函数f(n)对于n为正整数时为单调增函数
所以原不等式等效于a/24<1/2+1/3+1/4=13/12
即a<26
如果a取整数为25