Question

已知函数f(x)=cos四次方x-2sinxcosx-sin四次方x

(2).当x∈[0，TT/2]时，求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的集合

求解为什么=-√2sin（2x-π/4) 求出来的单调递减为【-π/8,3π/8】
而不是【π/8,3π/8】

Answer 1

f(x)=(cosx)^4-2sinxcosx-(sinx)^4
=[(cosx)^2+(sinx)^2][(cosx)^2-(sinx)^2]-2sinxcosx
=(cosx)^2-(sinx)^2-2sinxcosx
=cos(2x)-sin(2x)
= √2*[cos(2x)*√2/2-sin(2x)*√2/2]
= √2*[cos(2x)cos(π/4)-sin(2x)sin(π/4)]
= √2cos(2x+π/4) 。
（2）因为 0<=x<=π/2，因此 π/4<=2x+π/4<=5π/4 ，
所以当 2x+π/4= π 即 x=3π/8 时 f(x) 最小值为 f(3π/8)= -√2 。

追问

为什么要用cos啊？ = √2cos(2x+π/4) 。不是y=Asin(wx+φ)？

追答

保持前面为正号，便于讨论函数的单调性，求最值。
如果化为 -√2sin(2x-π/4) 也不是不可以，就是在求值时容易出错（比如单调性搞反，或最值弄颠倒）。

追问

=-√2sin（2x-π/4)
我算出来的是：
令t=2x-π/4则0≤t≤π/2∴π/8≤x≤3π/8

why？

追答

求出来是 f(x)= -√2sin（2x-π/4) ，
要求 f(x) 的单调递减区间，就要求 sin（2x-π/4) 的递增区间（因为前面系数是负数），
令 t=2x-π/4 ，则 -π/2<=t<=π/2 ，（这点你弄错了）
因此 -π/2<=2x-π/4<=π/2 ，解得 -π/8<=x<=3π/8 。

Answer 2

pi=π（读一下就知道...）
cos^4x-2sinxcosx-sin^4x
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)+sin2x
=cos2x+sin2x
=-√2sin（2x-π/4)
最小正周期：2π/2=π
2x-π/4=-π/2+2kπ（k∈Z）
x=-π/8+kπ
2x-π/4=π/2+2kπ
x=3π/8+kπ
单调递减为【-π/8,3π/8】
最小值为-√2
2x-π/4=π/2+2kπ（k∈Z）
x=3π/8+kπ