Question

求此题解

Answer 1

∫∫<D>f(x,y)dσ 表示曲顶柱体体积，是常数，不妨记为 V，
积分区域 D 的面积 是 π/4。
将 f(x,y)=ln(1+x^2+y^2)-(2/π)V 两边在 D 上求重积分，得
V = ∫∫<D>ln(1+x^2+y^2)dxdy-(2/π)V(π/4)
= ∫<0,π/2>dt∫<0,1>ln(1+r^2)rdr-(1/2)V,
(3/2)V = (π/4)∫<0,1>ln(1+r^2)d(1+r^2)
= (π/4)∫<1,2>lnudu
= (π/4)[u(lnu-1)]<1,2> = π(2ln2-1)/4,
得 V = π(2ln2-1)/6,
则 f(x,y) = ln(1+x^2+y^2)-(2/π)V
= ln(1+x^2+y^2)-(2ln2-1)/3。