Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为 3 2 ．（Ⅰ）求椭圆C的方

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为 3 2 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且 |AB|= 16 5 2 ，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a＞0），短半轴长为b（b＞0）， 则2b=4①， a 2 - b 2 a = 3 2 ②．                                               联立①②，解得a=4，b=2．                                                       因为椭圆C的对称轴为坐标轴， 所以椭圆C的方程为标准方程为 x 2 16 + y 2 4 =1或 y 2 16 + x 2 4 =1 ．         （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 由方程组 y=x+m y 2 16 + x 2 4 =1 ，消去y， 得5x 2 +2mx+m 2 -16=0， 由题意，得△=（2m） 2 -20（m 2 -16）＞0， 且 x 1 + x 2 =- 2m 5 ， x 1 x 2 = m 2 -16 5 ， 因为 |AB|= ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 = 1+1 | x 1 - x 2 |= 2 ? ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 16 5 2 ， 所以 (- 2m 5 ) 2 - 4( m 2 -16) 5 =( 16 5 ) 2 ，解得m=±2， 验证知△＞0成立， 所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0．