Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F（x）=f(x)(x＞0)?f(x)(x＜0)若f（-1）=0，且对定义域内任意实数

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F（x）=f(x)(x＞0)?f(x)(x＜0)若f（-1）=0，且对定义域内任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求F（x）的表达式； （2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（-1）=a-b+1=0①
∵对定义域内任意实数x均有f（x）≥0成立，且a＞0
∴△=b²-4a≤0②
①②联立可得（a-1）²≤0即a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
∴F（x）=

(x+1)2，x＞0 ?(x+1)2，x＜0

（2）∵x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1是单调函数
又∵函数g（x）的对称轴为x=

k?2

2

∴

k?2

2

≥2或

k?2

2

≤2
∴k≥6或k≤-2