Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=-t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l2：x=2的图象如图所示．（1

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=-t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l2：x=2的图象如图所示．（1）根据图象求a、b、c的值；（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（3）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由图形知：

c＝0 64a+8b+c＝0 4ac?b2 4a ＝16

 …（2分）解之，得a=-1，b=8，c=0
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x．…（4分）
（2）由f（x）=-x²+8x与直线l₁：y=-t²+8t联立可得x²-8x-t（t-8）=0，
∴x=t或x=8-t
∵0≤t≤2，∴t＜8-t
∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t）            …（7分）
由定积分的几何意义知：S（t）=

∫

t 0

[（-t²+8t）-（-x²+8x）]dx+

∫

2 t

[（-x²+8x）-（-t²+8t）]dx
=-

4

3

t3+10t2?16t+

40

3

．…（9分）
（3）令m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m
要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数m（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点．…（10分）
∴m′（x）=

2(x?1)(x?3)

x

（x＞0）．
当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，m′（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m′（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

m?7＞0 m+6ln3?15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）．…（14分）