Question

已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn（x∈R），求

已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，
则a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
又a₁=2，得d=2．
∴a_n=2n．
（2）当x=0时，b_n=0，S_n=0，
当x≠0时，令S_n=b₁+b₂+…+b_n，
则由b_n=a_nxⁿ=2nxⁿ，得
S_n=2x+4x²++（2n-2）x^n-1+2nxⁿ，①
xS_n=2x²+4x³++（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹．②
当x≠1时，①式减去②式，得
（1-x）S_n=2（x+x²++xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=

2x(1?xn)

1?x

-2nxⁿ⁺¹．
∴S_n=

2x(1?xn)

(1?x)2

-

2nxn+1

1?x

．
当x=1时，S_n=2+4++2n=n（n+1）．
综上可得，当x=1时，S_n=n（n+1）；
当x≠1时，S_n=

2x(1?xn)

(1?x)2

-

2nxn+1

1?x

．