Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重

如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF；（2）若BE=BF=λBC，求λ的范围并求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵边长为2的正方形ABCD中，
E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使AC两点重合于点A′，
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，
∴A'D⊥面A'EF，
∵EF?面A'EF，∴A'D⊥EF．
 
（2）解：取EF中点G，连接A'G，则A'G⊥EF，
∵BE=BF=λBC=2λ，∠EBF=90°，∴EF＝2

2

λ，
A'E=A'F=2-2λ，A′G＝

2λ2?8λ+4

，
要使A、C两点能重合于点A'，则在△A'EF中，A'E+A'F＞EF
即2(2?2λ)＞2

2

λ，
∴0＜λ＜2?

2

，
∵DA'⊥A'F，A'D⊥EF，∴A'D⊥面A'EF，
则VA′?EFD＝

1

3

SA′EF?A′D＝

2 2 λ

3

2λ2?8λ+4

=

4

3

λ

λ2?4λ+2

．