如图,点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线,
如图,点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线,交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作PF2的...
如图,点F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线,交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作PF2的垂线交直线x=a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程;(2)试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数,并证明你的结论.
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爵爷3012
2014-08-16
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解答:
解:(1)解方程组
得P点的坐标为
(?c,),
∴
kPF2==?,
∵PF
2⊥QF
2,
∴
kQF2=,
∴
QF2的方程为:y=(x?c)将
x=代入上式解得y=2a,
∴
Q点的坐标为(,2a);
∵Q点的坐标为(4,4),∴
=4且2a=4,
∴a=2,c=1,b
2=a
2-c
2=3,
∴
椭圆C的方程为+=1;
(2)∵
Q点的坐标为(,2a),P点的坐标为
(?c,),
∴
kPQ===,
∴
PQ的方程为y?2a=(x?),
即
y=x+a将PQ的方程代入椭圆C的方程得
b2x2+a2(x+a)2=a2b2,
∴(b
2+c
2)x
2+2a
2cx+a
4-a
2b
2=0①
∵a
2=b
2+c
2∴方程①可化为a
2x
2+2a
2cx+a
2c
2=0
解得x=-c
∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点.
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