Question

已知圆C：（x-2）2+y2=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点

已知圆C：（x-2）2+y2=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是______．

Answer 1

设点P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），则
由条件得A点坐标为x＝

x0+2+cosθ

2

，y＝

sinθ?x0?1

2

，
从而(

x0+2+cosθ

2

?2)2+(

sinθ?x0?1

2

)2＝1，
整理得x02+(cosθ?sinθ?1)x0+1?2cosθ?sinθ＝0，
化归为(x0?2)cosθ?(x0+1)sinθ+x02?x0+1＝0，
从而

2x02?2x0+5

sin(θ+?)＝?x02+x0?1，
于是由(

2x02?2x0+5

)2≥(?x02+x0?1)2，解得-1≤x₀≤2．
故答案为：[-1，2]．

Answer 2

解（ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，
则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为
(1，
3
)
和
(1，-
3
)
，
其距离为
2
3
满足题意（1分）
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d，则
2
3
=2
4-
d
2
，得d=1（3分）
∴
1=
|-k+2|
k
2
+1
，
k=
3
4
，
故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1（7分）
（ⅱ）设点m的坐标为（x
0
，y
0
）（y
0
≠0），q点坐标为（x，y）
则n点坐标是（0，y
0
）（9分）
∵
oq
=
om
+
on
，
∴（x，y）=（x
0
，2y
0
）即x
0
=x，
y
0
=
y
2
（11分）
又∵x
0
2
+y
0
2
=4，∴
x
2
+
y
2
4
=4(y≠0)
∴q点的轨迹方程是
x
2
4
+
y
2
16
=1(y≠0)
，（13分）
轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）