在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（Ⅰ） 求A的大小；（Ⅱ） 求cosB
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB-3sinC的取值范围．...
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（Ⅰ） 求A的大小；（Ⅱ） 求cosB-3sinC的取值范围．
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（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理
=
=
=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=
，又A∈（0，π）
∴A=
…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=
-B，
故cosB-
sinC
=cosB-
sin（
-B）
=cosB-
[sin
cosB-cos
sinB]
=cosB-
cosB+（-
）sinB
=-
cosB-
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=
| 2π |
| 3 |
故cosB-
| 3 |
=cosB-
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=cosB-
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=cosB-
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
|
